阿贝正弦条件（Abbe's sine condition）也称阿贝正弦律成像原理，是德国物理学家恩斯特·阿贝在1873年发表的光学镜头设计的重要成像关系式，是为了避免透镜或反射镜出现彗形像差而必须满足的一个关系。
阿贝正弦条件主要与横向放大倍率m有关。正弦条件可描述为m=h'/h=sin U/sin U'。该式表示横向放大倍率的大小与光线所通过的透镜的环形区的位置无关。
1 一个例子
圆锥曲线的光学性质，抛物面可以对平行于光轴的平行光线完美成像，将平行光完美汇聚在一个点上。
看到这里，一个很自然的疑问是，如果这束平行光不是平行于光轴入射，而是歪一点，是不是还能完美成像呢？稍加推理我们可以知道，结论是否定的。对于抛物线来说，满足等光程条件的光线入射位置只有一个，也就是平行于光轴入射，其他情况下并不满足等光程条件。单纯从几何上我们也容易看出来，对抛物线来说，只有一条对称轴，偏离这个对称轴的入射光线将不再保持对称性，之前所有的美好性质也将不复存在。
2 阿贝正弦条件
阿贝正弦条件讲的是，如果一个光学系统，已经对轴上物点完美成像了，那么为了对非常靠近光轴的物点也能够完美成像，就必须满足下面这个等式：
nsinU/(n'sinU')=β
这里 U 是轴上物点的入射光线与光轴的夹角，U′ 是对应出射光线的夹角，n 和 n′ 是物方和像方的折射率，β 是横向放大率（详见附录，在这里不影响讨论，只需满足等式左侧为一个常数即可）。
若是对于无穷远点，U 永远等于 0，不好进行计算，我们需要做一些简单的代换，使用下面这个形式：
h=f'sinU'
这里 h 是平行光线入射的高度，f′ 是系统焦距。
读者可以用正弦条件的等式验证抛物面对平行光线汇聚的情况，很容易得到结论，抛物面对平行光汇聚的情况，不满足正弦条件。所以我们看到，即使「一丝丝」偏离光轴，成像质量也是迅速降低了。而如果一个光学系统已经对轴上光点完美成像了，那只要它对轴上物点的任意倾角的入射光线满足上面的等式（也就是对任意倾角的入射光线，得到的都是常数），那么这个光学系统就可以同样地对非常靠近光轴的物点完美成像。
正弦条件的推导过程放在文末，如果仔细跟着推导过程走一遍，我们会再一次看到费马原理的妙用。我们在对光学系统的细节一无所知的情况下，仅凭对轴上点成像情况的观察，就能推断出对稍稍偏离光轴的点（近轴点）成像性质。
对正弦条件我们还可以用一个形象的比喻来帮助理解。如果不满足正弦条件，比如抛物面对平行光线汇聚的情形，就像是绝对值函数 f=|x|，在原点附近函数的导数不等于 0，所以只要 x 不等于 0，函数值就不等于 0，而且增加的速度和 x 是一样快的；如果满足正弦条件了，那就像多项式函数 f=x2，在原点附近函数的导数等于 0，所以 x 增加一点，函数值几乎不变，仍然接近于 0，函数值增长的速度远远小于 x 增长的速度。
3 齐明点与齐明透镜
说了这么多，那到底有没有「既能对轴上物点完美成像，又能对稍稍偏离光轴的物点完美成像」的这样一种光学系统呢？当然是有的，不仅有，而且结构异常简单——单单一个球面折射表面，在特定条件下，就可以满足。满足这样条件的点，就叫齐明点（Aplanatic Points）。
对于一个单一折射球面来说，很容易想到有两个特殊的点满足条件，一个是球心，一个是紧贴球面顶点的点。这两个点没什么好说的，等光程条件和正弦条件都是显然能满足的。下面我们来看看第三个齐明点。
如上图所示，从 A 点发出的光线射到球面上的 B 点，折射后光线的反向延长线与光轴相交于 A′，这种情形下，我们容易看出，A 点成了一个虚像 A′。我们看看从 A 点到 A′ 的光程：
L=n丨丨AB丨丨-n'丨丨A'B丨丨
注意到因为这里是反向延长光线得到的虚像，所以这里光程的计算是用减去的。
如果我们要完美成像，根据上一篇文章讨论的，这个光程就必须是一个常数。等于什么常数呢？不如让他等于 0 吧，容易得到：
AB/A'B=n'/n
我们看到等式右边是个常数，这代表什么？代表「B 点到两个定点（A、A′）距离之比为定值」，如果对平面几何感兴趣的话，相信很快就意识到，这就是阿波罗尼斯圆的定义（Circle of Apollonius），这个圆正好就对应我们这里的折射表面！
于是我们很幸运地找到了一对点，满足等光程条件，能够完美成像，就像椭球面的情形中两个焦点一样。那么这个位置是不是满足正弦条件呢？实际上也是满足的，做一点简单的几何计算不难证明，这里不再把枯燥范围的证明过程写出来了。
满足正弦条件意味着不仅对 A 这个点能够完美成像，而且对于离开光轴一点点范围内的其他点，也都能够完美成像，这一点就比椭球面要更好的了。
如果把两个球面组合在一起，利用各自的齐明点，很容易得到一个齐明透镜。比如在上图中，第二个球面就可以 A′ 为球心，由于球心本身也是齐明点，所以整个透镜都满足齐明条件，整个透镜都能对 A 点附近完美成像。
对齐明透镜进行追踪光线模拟的结果也表明，齐明透镜能够在近轴小范围内完美成像。这里将齐明透镜的光线追踪模拟结果与抛物面反射镜的光线追踪模拟结果放在一起进行对比（当然一个是实像一个是虚像），结果非常明显。
上图中，左侧一列是抛物面反射镜的结果，右侧是齐明透镜的结果。最下面的一个小点代表轴上物体形成的完美点像，随着偏离光轴的程度依次增加，可以看到抛物面反射镜的成像光斑迅速扩散，带有明显的彗差，而齐明透镜的成像光斑一直保持非常集中的状态，几乎没有扩散（在图中几乎不可见）。
齐明透镜的优秀性质，让它在很多场合得到广泛应用。一个常见的使用场景是显微镜物镜的前镜组，利用齐明透镜的性质大大增加了显微镜的数值孔径，而且不引入多余的像差。
上图就是一个实际的专利，其中最左侧的两片透镜（编号 51 和 52 的两片）就是齐明透镜，用于减小光线的入射角，改善后组的像差环境，极大地提高了数值孔径。
4 小结
1、等光程条件仅仅能保证特定的点能够完美成像，而不能保证其临近的点也能完美成像；
2、抛物面无法对小角度平行光完美成像，即使这个角度无限小，也不行；
3、在满足等光程条件基础上，满足阿贝正弦条件，就可以对近轴区域的物点也同样完美成像，满足这样条件的点称为齐明点；
4、单一的球面折射面有 3 个齐明点，可以将它们组合进而得到齐明透镜。